ERY

ラグランジュ乗数法


効用最大化問題を解くと需要関数になる。

効用最大化
max u=(x1,x2) s.t. P1x1+P2x2=I

ラグランジュ乗数法で解く

Step1:ラグランジュ関数Lをつくる。

(X1,x2,λ)=x1x2+λ(I-P1x1-P2x2)

Step2:(x1,x2,λ)で偏微分して0と置いて解く

∂L/∂x1=x2-λP1=0...①
∂L/∂x2=x1-λP2=0...②
∂L/∂λ=I-P1x1-P2x2...③

①/②の形にしてλを消す

x2/x1=P1/P2...④

x2=P1x1/P2を③に代入

I-P1x1-P2x2=0

したがって、x1✴︎(P1,P2,I)=I/2P1

④に代入
X2✴︎=(P1,P2,I)=I/2P2

経済学的にはここまででOK

一応λを求めると
①より
λ✴︎(P1,P2,I)=I/2P1P2

完了

Lはちょうど最適の時の残金を考慮した効用関数を示す。
λは制約の効き具合の指標になる。